OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

Adição
Na Matemática, a operação da adição é usada quando devemos juntar duas ou mais quantidades.
Propriedades da Adição
1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

(m + n) + r = m + (n + r)

3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

m + 0 = 0 + m = m

4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

m + n = n + m

Subtração:
Na Matemática, a operação da subtração é empregada quando devemos tirar uma quantidade de outra quantidade.
No conjunto dos números naturais, a subtração só pode ser efetuada quando o primeiro número (minuendo) for maior ou igual ao segundo número (subtraendo).
Observe, agora a seguinte situação:

Consideremos os números 12 e 7, a diferença entre eles é dada por 12 – 7 = 5.
Se trocarmos a ordem dos números, teremos a subtração 7- 12, que não pode ser efetuada no conjunto dos números naturais.
Daí podemos dizer:
No conjunto dos números naturais, a subtração não é comutativa, ou seja
12-7  7 –12.

No conjunto dos números naturais, a subtração não é associativa.
Observe:

(12 – 7) – 4?
(12 – 7) – 4 = 5 – 4= 1

12 - (7 - 4)?
12 – (7 - 4) = 12 - 3 = 9

Relação fundamental da subtração
Observe que:
9 - 5 = 4 pois 5 + 4 = 9
Em Matemática, dizemos que as sentenças 9 - 5 = 4 e 5 + 4 = 9 são equivalentes. Isto é, têm o mesmo significado.
Daí podemos escrever a relação fundamental da subtração:

Minuendo – subtraendo = diferença    subtraendo + diferença = minuendo.

Multiplicação
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo:

4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação
1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60

3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7

4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.

m.n = n.m
3.4 = 4.3 = 12

5. Distributiva: Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

m.(p+q) = m.p + m.q
6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48

Divisão
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais
1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

35 : 7 = 5

2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

35 = 5 x 7

3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:

n ÷ 0 = q

e isto significaria que:

n = 0 x q = 0

o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.