| Introdução |
| Modelos Matemáticos e Aplicações de Matemática na Sala de Aula |
| Bibliografia |
Para grande parte dos professores, a Matemática tem sido considerada como uma ciência sem capacidade de renovação e com pouca utilidade dentro do mundo do trabalho, a não ser quando se trata de conhecimentos básicos em aritmética, onde encontramos uma unanimidade no que diz respeito a necessidade de seu aprendizado. Mas, a complexidade da vida social não demanda outros conhecimentos matemáticos?
Muitos são os que opinam que o ensino de Matemática é muito semelhante ao que ocorria na Idade Média, desconsiderando completamente o nível tecnológico no qual se desenvolve a ciência moderna.
A Educação tem se distanciado dos novos problemas colocados à humanidade em face da rápida evolução técnica. Nós, professores, reconhecemos o quão distantes nossa prática na Escola está em relação a outros processos que ocorrem na sociedade. Ao mesmo tempo as Novas Tecnologias da Informação têm favorecido surpreendentes representações do espaço como a holografia, o espaço virtual, estereogramas e fractais, representações essas, sobre cujo processamento pela inteligência temos pouco conhecimento. No campo da realidade virtual, uma tecnologia que prevê a criação de um mundo imaginário na tela de computador, começam a se estabelecer novas possibilidades de uso que não apenas o lazer: aplicações nas áreas de engenharia, arquitetura e história através da visualização interativa de prédios, museus ou construções antigas; na área médica a visualização e interação com partes do corpo humano, até a simulação de cirurgias e transplantes; treinamento, simulação de vôos em aviões ou outros tipos de aeronaves também são somente mais algumas das inúmeras possibilidades que essas Novas Tecnologias nos apresentam. Ela tornaram possível a transmissão de som e imagem por computador.
Alguns dos resultados importantes destas investigações (a par dos que se referem ao desenvolvimento cognitivo e/ou cognitivo-afetivo dos sujeitos em ambientes informáticos) dizem respeito, por um lado, à maneira pela qual professores interagem com seus alunos nos ambientes informatizados, e, por outro, à forma de implantar centros de Informática educativa nas escolas. Basicamente, foi possível constatar que os resultados obtidos em Educação, com o uso da tecnologia nas escolas, depende menos do tipo de equipamento usado, que do modo como é usado o equipamento pelos educadores no seu trabalho com os alunos.
A análise e a adaptação às novas necessidades educativas que as próprias tecnologias geram têm que contar com um suporte teórico capaz de proporcionar meios e condições para estimular o constante avanço e adequação das Novas Tecnologias ao desenvolvimento dos indivíduos. Neste sentido, o acervo de pesquisas produzidas pelo Laboratório de Estudos Cognitivos (Instituto de Psicologia - Universidade Federal do Rio Grande do Sul), aliado a pesquisas de outros grupos que investigam sobre Informática Educativa, podem servir para orientar a introdução da Informática na educação, subsidiando sistemas de ensino federais, estaduais e municipais. Podem, além disso, servir de referência para outros estudos, análises e críticas, geradoras de mais e melhor conhecimento, para que a Educação possa acompanhar e beneficiar-se da utilização das Novas Tecnologias.
Uma síntese dos diferentes pontos de vista e as diferentes abordagens usadas por pesquisadores na área da Educação Matemática no estudo das relações entre Novas Tecnologias e o aprendizado em Matemática é uma tarefa difícil (Boieri, Chiappini e Fasano, 1996).
Como ponto de partida, poderíamos considerar a integração de idéias, métodos e produtos das Novas Tecnologias da Informação nos currículos de Matemática das escolas de 1°, 2° e 3° graus. Entretanto, Boieri, Chiappini e Fasano (1996) sugerem existir um acordo sobre dois aspectos deste processo de integração:
1. dar aos estudantes as idéias básicas sobre a Ciência da Computação que são necessárias na sociedade informatizada.
2. usar idéias das Novas Tecnologia da Informação, métodos e ferramentas para melhorar o aprendizado de Matemática.
Os autores referidos, relatam que pesquisadores italianos em seus trabalhos teóricos e experimentais usam diferentes abordagens suportadas por diferentes hipóteses sobre o papel que a tecnologia desempenha no processo de aprendizagem em Matemática, ou mais geralmente no processo de aprendizagem, onde a Matemática ocupa um importante lugar.
As pesquisas desenvolvidas tratando do processo de integração das Novas Tecnologias da Informação (nos diferentes níveis de ensino) se desenvolvem de maneira não linear e não homogênea com respeito as tecnologias utilizadas, os conceitos matemáticos envolvidos e as estratégias de ensino (Boieri, Chiappini e Fasano, 1996).
Podem ser observadas, no entanto, a ênfase em alguns tendências gerais:
Noções básicas da Ciência da Computação e atividades de programação no currículo de Matemática
Este primeiro uso da tecnologia da informação no currículo de Matemática está relacionado com a introdução de noções fundamentais da Ciência da Computação em atividade de programação. Tal abordagem relaciona-se com a possibilidade de trabalhar com importantes noções como variáveis, linguagem formal e algoritmos, e que, freqüentemente se apresentam com significados diferenciados na Computação e na Matemática. Um segundo aspecto, relaciona-se com a inserção de tópicos usualmente não desenvolvidos nos currículos tradicionais de Matemática como cálculos por aproximações e métodos algorítmicos para resolução de equações. A introdução de noções de computação nas atividade de programação procura integrar Informática e Matemática. Como exemplos deste tipo de proposta citamos Reggiani (1988) e Reggiani (1989), que desenvolveram um projeto de três anos em escolas secundárias usando BASIC e no qual são exploradas, por exemplo, noções de linguagem de programação, capacidades e limitações dos computadores, estrutura de dados, significado de variáveis em Ciência da Computação e na Matemática, conceito e construção de algoritmos numéricos.
Trabalhos envolvendo a linguagem LOGO, semelhantes a proposta de Reggiani (1989), também são referidos freqüentemente na literatura (Malara e Guidi, 1988), (Pellegrino, 1989), (Pellegrino e Garuti, 1989 e 1990), (Pellegrino e Iaderosa, 1990), (Pellegrino e Malara, 1991). Destacam-se nestes trabalhos a ênfase em abordar o processo de recursão nas atividades de programação, a organização dos dados de um problema que permitirão a construção de procedimentos de programação e considerações sobre os processos mentais envolvidos nestas atividades.
Boieri, Chiappini e Fasano (1996) cita também os trabalhos de Simonetti (1994) e Bondi (1994), que descrevem experiências usando LOGO no qual são desenvolvidas atividades envolvendo Aritmética, propriedades algébricas, descobertas sobre a Geometria Plana e transformações em Geometria.
Uma segunda abordagem nas pesquisa é a que considera o computador como um auxiliar, uma ferramenta para o aprendizado de Matemática
Nesta abordagem os alunos são auxiliados no seu aprendizado de Matemática através do uso de softwares tais como planilhas eletrônicas, manipuladores simbólicos ou ainda pacotes específicos para determinados conteúdos curriculares. Na WWW (World Wide Web) encontramos um sem números destes softwares, como o Skecthpad (geometria), Gnuplot (gráficos), Proglin (programação linear), Matgraph (gráficos), Derive (manipulador simbólico, gráficos, etc.) Ace2000 (osciloscópio), Rurci (álgebra e trigonometria), Eukeprop (geometria). A utilização de um ou mais destes recursos representa uma maneira de introduzir Novas Tecnologias da Informação no currículo escolar.
No trabalho de Arpinati (1990) e Arpinati e Barozzi (1992) com a assistência de um professor e o pacote Mathematica alguns tópicos clássicos de Matemática, como fatoração e primos, critérios de divisibilidade, seqüências numéricas, número ?, são trabalhados utilizando computadores.
Boieri, Chiappini e Fasano (1996) citam também os trabalhos de Dettori et al. (no prelo) e Malara et al. (1992), nos quais são utilizadas planilhas eletrônicas no aprendizado de álgebra, estudos sobre regularidades em seqüências numéricas, proporcionalidade e estatística. Elia et al (1993), Galizia e Malaguzzi (1992), Galizia e Mascarello (1993, 1994a ,1994b), Galizia et al. (1993), Sargenti (1992) usam diferentes softwares (como o Derive) como ferramenta no ensino e aprendizagem da Teoria da Integração, Séries de Fourier e Transformadas de Fourier. O foco destes últimos trabalhos reside na construção e experimentação de um currículo que enfatiza a continuidade do processo de aprendizagem entre o nível secundário técnico e o curso de Engenharia e a relação com aplicações em eletrônica e Teoria da Informação.
Uso de micromundos para o desenvolvimento de habilidades matemáticas
Uma terceira tendência nos trabalhos de pesquisa voltados para as relações entre Novas Tecnologias e Matemática está baseada nos sistemas micromundos.
A idéia básica sobre o uso de um sistema micromundo no aprendizado de Matemática é a de encorajar o estudante a explorar o ambiente que está acessível através de alguma interface e que envolve um modelo de um domínio de conhecimento matemático. Tal exploração dependerá necessariamente do sistema e segundo Boieri, Chiappini e Fasano, (1996), pode melhorar o desenvolvimento das estratégias utilizadas pelo estudante na resolução de alguma tarefa e contribuir na construção de significados envolvendo relações entre objetos matemáticos e suas representações.
Também se insere nesta classificação trabalhos realizados usando o ambiente LOGO (Papert, 1994). No Instituto de Matemática da Uinversidade Federal do Rio Grande do Sul, a Professora Loiva C. de Zeni desenvolve trabalhos de exploração do ambiente LOGO.
Outro importante micromundo é o Cabri-géomètre, estando hoje disponível aos alunos da Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. A principal atenção dada para o uso do Cabri-géomètre está no ensino de geometria. A professora Maria Alice Gravina do Instituto de Matemática - UFRGS têm desenvolvido trabalhos utilizando este software.
O uso da tecnologia na transmissão e difusão de conceitos Matemáticos
Um quarto possível uso da tecnologia da informação no currículo de Matemática está baseada no uso de ferramentas e técnicas (filmes, videodiscos, hipertextos) para a comunicação e difusão de conteúdos e conceitos matemáticos.
Um exemplo deste tipo de trabalho, que vem sendo desenvolvido sob a orientação da Dra. Léa da Cruz Fagundes, é o realizado pela doutoranda Maçada, aluna do Pós-Graduação em Informática na Educação - UFRGS.
Boieri, Chiappini e Fasano (1996) relatam o trabalho de Emmer et al. (1989), Emmer e Loreto, (1989) o qual está baseado na tecnologia de vídeo e que faz uso de animações computadorizadas e simulações. Nestes vídeos são exploradas conexões entre Matemática, História e Arte Moderna.
Relacionado com este ponto desenvolve-se o trabalho Educação à Distância em Ciência e Tecnologia coordenado pela Dra. Léa Fagundes (LEC-IP-UFRGS). Este se propõe a aplicar as Tecnologias da Informática em EAD (Educação à Distância) para formação de professores, aplicar a Internet à sala de aula para, em curto prazo, atender em Educação à Distância o sistema de ensino público, avaliar os impactos e as transformações decorrentes da presença da INTERNET em escolas públicas de comunidades dos estados de Ceará, Distrito Federal, São Paulo e Rio Grande do Sul e desenvolver software para EAD, testar, avaliar os resultados e validar os “produtos” .
Formação de professores para a integração de Novas Tecnologias da Informação no currículo de Matemática
Face às diferentes maneiras para desenvolver uma integração entre o currículo de Matemática e a tecnologia da informação descritos anteriormente a questão da formação dos professores é essencial. Boieri, Chiappini e Fasano, (1996) citam como um trabalho nesta linha o de Bottino e Furinghetti (1996) no qual os autores analisam as concepções dos professores sobre Informática e seu ensino em conexão com a Matemática. Eles focalizam o papel do professor analisando as diferentes escolhas tomadas pelos professores diante de reformas curriculares que contemplam a introdução de Informática nos cursos secundários. Os resultados deste trabalho apontam que tais escolhas dos professores está intimamente relacionada com suas concepções sobre Informática em relação ao ensino de Matemática.
No Laboratório de Estudos Cognitivos - UFRGS, têm sido desenvolvidos trabalhos na formação de professores em geral (Fagundes e Petry, 1991) desde sua criação em 1984. Nesta linha de trabalho se insere o realizado pela Doutoranda Rosane Nevado, também aluna do Pós-Graduação em Informática na Educação - UFRGS.
Aprendizagem Matemática, Novas Tecnologias e pessoas portadoras de necessidades especiais
Boieri, Chiappini e Fasano, (1995) concluem sua análise das tendências nas pesquisas sobre tecnologia e Matemática ressaltando a importância da tecnologia da informação no ensino-aprendizagem de Matemática para pessoas portadoras de necessidades especiais. Nesta linha citam os trabalhos "The supermarket", "The line of numbers" e "Indiana Jeans", programas desenvolvidos por Contardi et al., (1995a e 1995b) para estudantes com deficiência mental e que, segundo os autores, auxiliam na construção de competências e habilidades (classificações, relações, números e operações, deslocamentos no plano e sistemas de coordenadas cartesianas) e para melhorar sua autonomia também em Matemática.
Modelos Matemáticos e Aplicações de Matemática na Sala de Aula
Um modelo matemático de uma situação problemática real constitui uma representação matemática de uma parte da realidade (uma dada situação concreta - como a determinação da superfície corporal de uma pessoa -, idéia, objeto ou fenômeno – a previsão do tempo, por exemplo). Esta representação é realizada através de objetos, relações e estruturas da matemática (tais como tabelas, relações funcionais, gráficos, figuras geométricas, etc.). No caos do modelo proposto pelos fisiologistas para o cálculo da superfície corporal, o modelo se apresenta na forma de uma relação funcional entre as variáveis S e p.
Matos (1995), escreve:
“Com um modelo procura-se descrever os elementos considerados como fundamentais na situação, ignorando-se deliberadamente os elementos tidos como secundários. No entanto, na medida em que um modelo matemático tende a ser uma simplificação útil daquilo que pretende descrever, ele simplifica alguns aspectos da realidade de forma a clarificar ou a tornar mais salientes outros aspectos. É típica dos bons modelos a tendência para não haver demasiadas simplificações mas sim para tornar salientes os aspectos fundamentais da situação.”
Usualmente o processo de modelação é representado esquematicamente na forma de um ciclo, que pode se repetir com o objetivo de melhor se ajustar à situação que se pretende modelar. Variando de autor para autor, optamos por trabalhar com o esquema proposto por Kerr e Maki (1979), levando em consideração a atenção dada para o cenário pedagógico em que se possam desenvolver os processos de construção e manipulação de modelos. Procurando tornar o trabalho de modelagem adequado para a sala de aula de maneira que os alunos utilizem algumas das idéias e dos instrumentais matemáticos, Kerr e Maki acrescentam um passo intermediário entre o Modelo Real e o Modelo Matemático, representado no esquema por Modelo para a Sala de Aula.
O esquema poderia sugerir que os passos a serem dados na construção de um modelo, se dão de forma rígida e sequencial. Matos observa que
“o processo de modelação é visto como um conjunto de etapas evolutivas, que apenas idealmente se sucedem numa determinada ordem. Nesse sentido, ele não deve ser assumido como um percurso rígido, bem pelo contrario, uma ou mais etapas podem ser combinadas ou mesmo omitidas em atividades a desenvolver em sala de aula.”
No caso do esquema apresentado, o ciclo de modelagem consiste nos seguintes passos (adaptados de Matos, 1995):
1. Identificação de um problema do mundo real.
2. O problema é muitas vezes modificado e simplificado com vistas a ser descrito em termos razoavelmente precisos e sucintos. Essa descrição do problema constitui o chamado modelo real. Trata-se de um modelo tendo em vista que uma idealização, ou simplificação foi feita, isto é, nem todos os aspectos da situação real são incorporados na descrição.
3. Com o objetivo de produzir um ambiente para a Aplicação da Matemática na Sala de Aula, acrescenta-se uma outra etapa, “que pode ser decisiva do ponto de vista pedagógico” (Matos,1995).
4. O modelo real é ainda mais simplificado e apresentado num contexto que seja interessante e compreensível para os alunos, tornando viável a aplicação de alguns conceitos e idéias matemáticos presentes na situação-problema. Chegamos ao chamado Modelo para a Sala de Aula e a sua presença relaciona-se com o fato do modelo matemáticos ser construído com fins didáticos.
5. Conversão de aspectos e conceitos do mundo real em símbolos e representações matemáticas.
6. Uso de instrumentos e técnicas matemáticas para se obter conclusões baseadas na utilização do modelo construído.
7. A validade de um modelo pode ser aferida através do confronto das conclusões obtidas a partir do modelo com a realidade. No entanto, durante todo processo de construção de um modelo, testes podem ser feitos para ferir a validade ou não do modelo proposto. Identificada alguma insuficiência relevante no modelo, ou seja sua inadequação para fornecer informações úteis acerca da realidade, o processo deve ser retomado.
Estamos diante de Novas Tecnologias da Informação, diante de novos espaços de construção do conhecimento. A realização de esforços na utilização, estudo de novas metodologias apropriadas para o trabalho nestes novos ambientes e avaliação deste trabalho é essencial para, além de estreitar a defasagem existente entre a educação escolar fundamental e o desenvolvimento científico e tecnológico da sociedade atual, promover a plena afirmação da cidadania de todos os possíveis envolvidos neste processo: professores, alunos e todos aqueles que no futuro poderão construir e usufruir dos seus resultados.
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